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원주율의 값은 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781……으로, 순환하지 않는 무한소수(무리수)이기 때문에 근삿값으로 3.14 또는 3.141을 사용하거나 기호 파이(π)로 사용한다.

원주율 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전

π 2 = 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋅ 8 7 ⋅ 8 9 ⋯ = ∏ n = 1 ∞ ( 4 ⋅ n 2 4 ⋅ n 2 − 1 ) {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4\cdot n^{2}}{4\cdot n^{2}-1}}\right)} 월리스 공식 1655년 π 2 6 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + 1 5 2 + 1 6 2 + 1 7 2 + 1 8 2 + 1 9 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{8^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}+\cdots } 오일러의 곱셈 공식 1735년[주해 5]

1949년 9월 최초로 컴퓨터를 이용하여 70시간에 걸쳐 소수점 아래 2,037자리까지 계산하였다. 원주율 계산에 컴퓨터를 도입한 이후 원주율 계산은 단순 알고리즘의 무한 반복에 불과한 작업이 되어 수학적 의미를 잃었다.[19] 이 계산은 종종 컴퓨터의 성능을 시험하기 위한 방법으로 사용한다.[18] 2005년 일본 도쿄 대학의 가네다 야스마사 교수는 컴퓨터를 601시간 56분 동안 사용하여 원주율을 소수점 1,241,100,000,000자리까지 구하였다. 2009년 〈도쿄신문〉에 따르면, 일본 쓰쿠바 대학 계산과학연구센터는 17일, 슈퍼컴퓨터를 사용한 원주율 계산에서, 2조 5769억 8037만 자리수의 세계기록을 수립했다고 한다. (73시간 59분 소요)[20][21] 그 이후 프랑스에서는 2조 7천억 자리까지 계산하였다.[22] 2010년 8월 3일에는 일본의 회사원 곤도 시게루(近藤茂)가 소수점 이하 5조 자리까지 계산하였다. (90일 7시간 소요, 검증 기간 포함 / PC 사용)[23] 2016년 11월 11일 스위스의 입자 물리학자인 페터 트뤼프(Peter Trüb)는 105일 동안 계산하여, 원주율을 소수점 이하 22조 4591억 5771만 8361자리( π e {\displaystyle \pi ^{e}} 조 개)까지 계산했다.[24]

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원주율(圓周率, 문화어: 원주률)은 원둘레와 지름의 비 즉, 원의 지름에 대한 둘레의 비율을 나타내는 수학 상수이다. 수학과 물리학의 여러 분야에 두루 쓰인다. 그리스 문자 π로 표기하고, 파이(π)라고 읽는다.[1] 원주율은 수학에서 다루는 가장 중요한 상수 가운데 하나이다.[2] 무리수인 동시에 초월수이다. 아르키메데스의 계산이 널리 알려져 있어 아르키메데스 상수라고 부르기도 하며, 독일에서는 1600년대 뤼돌프 판 쾰런이 소수점 이하 35자리까지 원주율을 계산한 이후 뤼돌프 수라고 부르기도 한다.[3] 원주율의 값은 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781……으로, 순환하지 않는 무한소수(무리수)이기 때문에 근삿값으로 3.14 또는 3.141을 사용하거나 기호 파이(π)로 사용한다.

개요 [ 편집 ]

원의 지름이 1일 때, 원주는 π이다.

유클리드 평면에서 원은 크기와 관계없이 언제나 닮은 도형이다. 따라서 원의 지름에 대한 둘레의 비는 언제나 일정하며, 이를 원주율이라 한다. 즉, 원의 지름을 d, 둘레를 C라 하면 원주율 π는 다음의 식으로 나타낼 수 있다.[4]

π = C d {\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}

원주율을 나타내는 기호 π는 1706년 영국의 수학자 윌리엄 존스가 최초로 사용했다. 이것은 둘레를 뜻하는 고대 그리스어 “페리페레스”(περιφηρής) 또는 “페리메트론”(περίμετρον)의 첫 글자를 딴 것이다.[5] 윌리엄 존스는 “특정 도형의 길이나 넓이를 구하는 계산에 매우 유용한 방법이 여러 가지 있다. 원을 예로 들면 지름이 1인 원의 둘레를 약 3.14159…= π로 표기하는 것이다.”라고 기호 π의 사용을 제안하였다.[6]

원주율은 소수점 아래 어느 자리에서도 끝나지 않고, 순환마디도 없이 무한히 계속되는 비순환소수이다. 원주율이 무리수라는 것은 1761년 요한 하인리히 람베르트가 증명했다. 원주율의 소수점 이하에서 나타나는 수열은 무작위 표집을 통해 만드는 난수표와 성질이 같다.[7] 원주율은 십진법으로는 값을 정확하게 표기할 수 없기 때문에 실제 계산에서는 근삿값을 이용한다.

2 원의 넓이 = π × 반지름

원의 둘레 = π × 지름

다빈치의 원의 넓이 계산

한편, 원주율은 계수가 유리수인 유한 차수 다항식의 해가 될 수 없다. 이러한 종류의 수를 초월수라 부른다. 이 사실은 1882년 페르디난트 폰 린데만이 증명하였다. 여기에서 원주율은 어떤 정수에 적당한 유리수를 곱하고 제곱근을 씌우는 등의 연산을 조합하여 얻어낼 수 없다는 사실을 알 수 있다. 또한 원주율이 초월수라는 사실을 통해, 그리스 3대 난제 중 하나였던 “자와 컴퍼스만을 사용하여 원과 넓이가 같은 정사각형을 작도하는 원적문제”가 유한한 대수적 방법으로는 불가능하다는 것을 증명할 수 있다.

유클리드 기하학에서 원과 원주율의 관계를 살펴보면 다음과 같은 사실을 확인할 수 있다.[8]

원의 둘레를 구하는 식은 원주율의 정의와 같다.

원의 둘레 = 지름 × 원주율

원의 넓이를 구하는 방법은 아르키메데스 시대 이후 여러 가지 기법이 알려져 있다. 널리 사용하는 방법 가운데 하나는 레오나르도 다빈치가 고안한 것으로, 정육각형을 이용한 구적법이다. 레오나르도 다빈치는 왼쪽 그림과 같이 정육각형을 이용하여 분할한 원을 직사각형으로 치환하여 원의 넓이를 계산하였다.[9]

원의 넓이 = 원주율 × 반지름2

원주율이 보이는 복잡한 수열에 비해 이를 계산하는 방법은 의외로 단순하다. 라이프니츠가 정리한 다음 계산식이 널리 알려져 있다.

π = 4 ( 1 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − 1 11 + 1 13 − 1 15 + 1 17 − 1 19 + 1 21 − 1 23 + 1 25 − 1 27 + 1 29 − 1 31 + ⋯ ) {\displaystyle \pi =4\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}-{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{17}}-{\frac {1}{19}}+{\frac {1}{21}}-{\frac {1}{23}}+{\frac {1}{25}}-{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{29}}-{\frac {1}{31}}+\cdots \right)}

역사 [ 편집 ]

고대 [ 편집 ]

고대의 여러 문화에서 원주율의 값으로 3이 쓰였다. 고대 메소포타미아에서도 원주율을 3으로 계산하였고[10], 구약성경 열왕기상 7장 23절과 역대하 4장 2절에는 직경과 둘레의 길이를 기술하여 원주율이 3정도 임을 알고 있었다고 추측된다. 고대 중국의 수학책인 《구장산술》에서도 3을 원주율로 제시하였다. 《구장산술》에는 다음과 같은 문제가 실려 있다.[11]

원문 번역 今有圓田周三十步經十步問爲田幾何

答曰七十五步 둘레가 30걸음, 지름이 10걸음인 원 모양의 밭이 있다면 넓이는 얼마인가?

답: 75걸음² 원주율의 근삿값을 3.14로 할 때 오늘날의 계산은 π ∗ 5 2 = 3.14 ∗ 5 2 = 78.5 {\displaystyle \pi *5^{2}=3.14*5^{2}=78.5}

구장산술의 계산은 평균값으로 이루어져있다. (1) 원둘레가 30보인 경우 반지름은 30=2r*3.14 r=4.78 이경우의 면적은 71.74 (2) 지름이 10보인 경우 면적은 78.5. (1)과 (2)의 평균은 75보. 그러므로 구장산술의 계산이 부정확하다는 것은 잘못되었다.

원에 내접하는 정육각형

구장산술에 실린 계산이 매우 부정확하다는 것은 왼쪽 그림을 보면 쉽게 알 수 있다. 지름이 1인 원에 내접하는 정육각형의 둘레는 3이고 실제 원의 둘레는 그것과는 차이가 상당하기 때문이다.[12] 이는 고대에서부터 이미 널리 알려진 문제였고 값을 보다 정확하게 구하기 위한 노력이 계속되었다. 고대 이집트에서는 원통형 바퀴를 굴려 직접 측정해 원주율을 계산하였는데 256⁄81=3.16049……를 사용하였다.[10]

원에 외접하는 다각형과 내접하는 다각형의 둘레를 이용한 아르키메데스의 원주율 계산

한편 기원전 3세기의 고대 그리스 수학자 아르키메데스는 근대 적분이 없었던 당시에 무한소라는 개념을 사용하였다. 그는 소거법을 사용하여 π {\displaystyle \pi } 의 근삿값을 계산하였다. 이 방법은 임의 차원의 미지항에 대해 극한을 취하는 것으로, 귀류법을 사용하여 동일한 계산을 반복하는 과정을 통해 해답을 얻는 것이다. 아르키메데스는 변이 매우 많은 다각형이 임의의 원에 내접하는 경우와 외접하는 경우를 비교하여 원주율을 계산하였다. 즉, 임의의 원의 둘레는 그것에 외접하는 다각형의 둘레보다 짧고 내접하는 다각형보다 길다. 이때 다각형의 변이 많아질수록 외접하는 경우와 내접하는 경우의 둘레 차는 작아지므로 원의 둘레에 근사한다. 즉, 지름이 d인 원에 내접하는 변의 개수가 n인 정다각형의 둘레 P n 에 대해 다음과 같이 함수의 극한을 취하면 원주율을 얻을 수 있다.

π = lim n → ∞ P n d . {\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n}}{d}}.}

아르키메데스는 정구십육각형을 이용하여 π {\displaystyle \pi } 의 값을 다음과 같이 계산하였다.[13]

3 10 71 < π < 3 1 7 ≈ 3.1408 < π < 3.1429 {\displaystyle 3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}\approx 3.1408<\pi <3.1429} 아르키메데스는 이 결과에 따라 π {\displaystyle \pi } 의 근삿값으로 3.1416을 제시하였다. 또한, 아르키메데스는 원의 면적이 π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} 임을 증명하였다. 아르키메데스는 자신의 저서 《구와 원기둥》에서 어떠한 크기가 주어지더라도 임의의 크기에 적당한 수를 곱하여 주어진 크기를 초과할 수 있다고 가정하였다. 이를 실수에서의 아르키메데스 성질이라고 한다.[14] 중국의 삼국시대 위나라 수학자 유휘는 《구장산술》에 주해를 달아 다시 출판하였는데, 아르키메데스와 같은 방법을 사용하여 원주율을 157⁄50=3.14 로 계산하였다. 유휘가 계산한 원주율 근삿값은 오늘날에도 일상생활에서 사용한다.[15] 2세기에 들어 중국의 장형은 원주율을 3.1623으로 계산하였고[16] 5세기 중국 남북조 시대 송나라의 조충지는 3.141592로 계산하였다.[17] 독일에서는 1600년대 뤼돌프 판 쾰런이 소수점 이하 35자리까지 계산하였다.[3] 컴퓨터를 도입하기 이전에 가장 긴 자리수의 원주율을 계산한 사람은 영국의 수학자 샹크스였다. 그는 15년이나 걸려 1873년까지 소수점 이하 707자리까지 원주율 값을 계산해냈다. 하지만 후에 그 계산은 528자리까지만 정확한 것으로 밝혀졌다.[18] 컴퓨터를 통한 원주율 계산 [ 편집 ] 1949년 9월 최초로 컴퓨터를 이용하여 70시간에 걸쳐 소수점 아래 2,037자리까지 계산하였다. 원주율 계산에 컴퓨터를 도입한 이후 원주율 계산은 단순 알고리즘의 무한 반복에 불과한 작업이 되어 수학적 의미를 잃었다.[19] 이 계산은 종종 컴퓨터의 성능을 시험하기 위한 방법으로 사용한다.[18] 2005년 일본 도쿄 대학의 가네다 야스마사 교수는 컴퓨터를 601시간 56분 동안 사용하여 원주율을 소수점 1,241,100,000,000자리까지 구하였다. 2009년 〈도쿄신문〉에 따르면, 일본 쓰쿠바 대학 계산과학연구센터는 17일, 슈퍼컴퓨터를 사용한 원주율 계산에서, 2조 5769억 8037만 자리수의 세계기록을 수립했다고 한다. (73시간 59분 소요)[20][21] 그 이후 프랑스에서는 2조 7천억 자리까지 계산하였다.[22] 2010년 8월 3일에는 일본의 회사원 곤도 시게루(近藤茂)가 소수점 이하 5조 자리까지 계산하였다. (90일 7시간 소요, 검증 기간 포함 / PC 사용)[23] 2016년 11월 11일 스위스의 입자 물리학자인 페터 트뤼프(Peter Trüb)는 105일 동안 계산하여, 원주율을 소수점 이하 22조 4591억 5771만 8361자리( π e {\displaystyle \pi ^{e}} 조 개)까지 계산했다.[24] 원주율의 값 [ 편집 ] π {\displaystyle \pi } 값의 소수점 아래 1,000자리 수는 다음과 같다. 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989... 수학적 특성 [ 편집 ] 원주율은 두 정수의 비로 나타낼 수 없는 무리수이다. 또한, 계수가 유리수인 다항식의 근이 될 수 없는 초월수이다. 무리수 [ 편집 ] 원주율이 무리수라는 것은 1761년에 요한 하인리히 람베르트가 증명했다.[25] 람베르트는 다음과 같이 탄젠트 함수의 연분수 전개식을 이용하여 이를 증명하였다.[26] tan ⁡ ( x ) = x 1 − x 2 3 − x 2 5 − x 2 7 − ⋱ {\displaystyle \tan(x)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-{}\ddots }}}}}}}}} x {\displaystyle x} 가 0 {\displaystyle 0} 이 아닌 유리수일 때 위에 전개된 연분수를 십진기수법으로 나타내면 언제나 순환하지 않는 소수이므로 항상 무리수이다. 한편, tan ⁡ ( π 4 ) = 1 {\displaystyle \tan({\frac {\pi }{4}})=1} 이므로 π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} 는 반드시 무리수여만 한다. 따라서 π {\displaystyle \pi } 역시 무리수이다.[27][주해 1] 초월수 [ 편집 ] e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0\;\;\!} 오일러 등식 은 기초 수학의 여러 개념에서 빈번하게 등장한다. 원주율이 초월수임은 오일러 등식을 이용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.[28] 오일러 등식은, e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0\;\;\!} [주해 2] 이다. 이 때 π가 정계수 대수방정식 ζ ( x ) = 0 {\displaystyle \zeta (x)=0} 의 근이라면 ζ ( π ) = 0 {\displaystyle \zeta (\pi )=0} 이다. 따라서 ζ ( π ) ⋅ ζ ( − π ) = 0 {\displaystyle \zeta (\pi )\cdot \zeta (-\pi )=0} 역시 성립하여야 한다. 이제 y=iπ라 하면 π=-iy 이고 -π=iy 이므로, iπ는 다음 식으로 나타낼 수 있는 정계수 대수방정식을 만족시켜야 한다. ζ ( π ) ⋅ ζ ( − π ) = Ψ ( y ) = 0 {\displaystyle \zeta (\pi )\cdot \zeta (-\pi )=\Psi (y)=0} 이제 Ψ ( y ) = 0 {\displaystyle \Psi (y)=0} 을 ν차원의 방정식이라 하면 그 근인 y 1 , y 2 ,……, y ν 에는 iπ가 존재하여야 하므로, 식 (1)에 따라 다음과 같이 나타낼 수 있다. ( 1 + e y 1 ) ( 1 + e y 2 ) ⋯ ( 1 + e y ν ) = 0 {\displaystyle (1+e^{y_{1}})(1+e^{y_{2}})\cdots (1+e^{y_{ u }})=0} 그런데 이러한 관계를 만족하는 대수방정식의 근이 유리수라고 가정하면 무한히 약분할 수 있어서, 이를 기약분수로 표현할 수 없는 모순이 생긴다.[주해 3] 유리수를 기약분수로 표현할 수 없다는 것은 유리수의 정의에 어긋나므로 π가 정계수 대수방정식 ζ ( x ) = 0 {\displaystyle \zeta (x)=0} 의 근이라는 최초의 가정이 잘못되었다고 볼 수밖에 없다. 즉, 원주율은 초월수이다. 자세한 증명은 링크한 주석을 참고하기 바란다.[29] 수열 [ 편집 ] 개요에서 밝혔듯이 원주율은 반복되지 않고 무한히 계속되는 수열을 이룬다. 네덜란드 수학자 라위트전 브라우어르는 다음과 같은 질문을 제기하였다.[30] 원주율 π = 3.141592……의 전개에서 계속되는 소수의 수열에 9가 연속적으로 100회 나타날까? 브라우어르는 이 수열이 무한히 계속되기 때문에 이 수열을 어느 정도까지만 확인한 결과만으로는 위 질문에 답할 수 없다는 점을 지적하였다. 실제 소수점 이하 762번째에서부터 수열 999999 가 출현한다. 이 수열은 파인만 포인트로 알려져 있으며 원주율의 소수점 이하 수열에서 확률 0.08%로 발견할 수 있는 것으로 알려져 있다.[31] 따라서 경험적 방법으로는 위 문제에 답할 수 없다. 브라우어르는 이러한 논의를 바탕으로 아리스토텔레스의 배중률[주해 4] 은 유한한 개수를 대상으로 한 것에만 적용 수 있을 뿐 무한한 것에 적용할 수 없다고 결론지었다.[30] 원주율에서 나타나는 수열은 무작위 표집을 사용해 만든 난수표의 성질을 보인다. 하지만, 실제 원주율의 수열이 완전한 무작위성을 보이는지는 증명되지 않았다.[7] 계산식 [ 편집 ] 원주율은 무리수이기 때문에 그 값은 근삿값으로밖에 알 수 없다. 대부분의 계산에는 3.14나 22/7 라는 근삿값을 사용해도 충분하다. 355/113은 외우기 좋고, 정밀도도 좋다. 좀 더 정밀한 기술의 계산에서는 3.1416 또는 3.14159 등을 사용하기도 한다. 기상 예보나 인공 위성 등의 계산에는 소수점 아래 30자리까지 나아간 근삿값을 사용하고 있다. 이렇게 불규칙적인 패턴을 가지는 원주율은 다음과 같이 규칙적인 수식을 이용하여 계산할 수 있다. 더 정확한 값을 얻으려면 수식을 연장하기만 하면 된다.[19] π = 4 ( 1 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − 1 11 + 1 13 − 1 15 + 1 17 − 1 19 + 1 21 − 1 23 + 1 25 − 1 27 + 1 29 − 1 31 + 1 33 − ⋯ ) {\displaystyle \pi =4\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}-{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{17}}-{\frac {1}{19}}+{\frac {1}{21}}-{\frac {1}{23}}+{\frac {1}{25}}-{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{29}}-{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{33}}-\cdots \right)} 위 식은 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 전개한 것으로 흔히 라이프니츠의 공식이라고 부른다. 이 식 외에도 원주율을 계산하는 공식으로는 다음과 같은 것이 있다.[32] π 2 = 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋅ 8 7 ⋅ 8 9 ⋯ = ∏ n = 1 ∞ ( 4 ⋅ n 2 4 ⋅ n 2 − 1 ) {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4\cdot n^{2}}{4\cdot n^{2}-1}}\right)} 월리스 공식 1655년 π 2 6 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + 1 5 2 + 1 6 2 + 1 7 2 + 1 8 2 + 1 9 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{8^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}+\cdots } 오일러의 곱셈 공식 1735년[주해 5] 17세기의 프랑스 수학자 프랑수아 비에트는 다음과 같은 무한급수로 원주율을 계산하였다.[33][34] 2 2 ⋅ 2 + 2 2 ⋅ 2 + 2 + 2 2 ⋯ = 2 π {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots ={\frac {2}{\pi }}} 또한, 스털링 근사를 사용해 원주율을 유도할 수도 있다.[35] n ! ≈ 2 π n ( n e ) n {\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}} 원주율은 다음과 같이 연분수로 표현할 수 있다.[36] 4 π = 1 + 1 3 + 4 5 + 9 7 + 16 9 + 25 11 + 36 13 + ⋱ {\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {4}{5+{\cfrac {9}{7+{\cfrac {16}{9+{\cfrac {25}{11+{\cfrac {36}{13+\ddots }}}}}}}}}}}}} 1996년 데이빗 베일리는 피터 보어와인, 시몽 플루프와 공동으로 π에 관련된 새로운 무한급수를 발견했다. π = ∑ k = 0 ∞ 1 16 k ( 4 8 k + 1 − 2 8 k + 4 − 1 8 k + 5 − 1 8 k + 6 ) {\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)} 이 식을 이용하면 2진수 그리고 16진수로 표기한 π값의 소수점 아래 n자리 값을 n-1째 자리까지 구하지 않고 바로 계산해 낼 수 있다. 베일리의 홈페이지 에선 다양한 프로그래밍 언어를 이용해 구현한 실제 예를 볼 수 있다. 적용 [ 편집 ] 원주율은 수학과 물리학 등 여러 분야에서 다양하게 적용한다. 기하학 [ 편집 ] 아르키메데스는 원과 구의 다음과 같은 성질을 증명하였다.[37] 반지름 r 인 원의 둘레： C = 2 π r {\displaystyle C=2\pi r} 인 원의 둘레： 반지름 r 인 원의 넓이： A = π r 2 {\displaystyle A=\pi r^{2}} 인 원의 넓이： 반지름 r 인 구의 부피： V = 4 3 π r 3 {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}} 인 구의 부피： 반지름 r 인 구의 겉넓이： A = 4 π r 2 {\displaystyle A=4\pi r^{2}} 한편, 원은 이심률이 0인 타원으로 간주할 수 있으며 이에 따라 타원 방정식은 일반적으로 다음과 같이 표현한다.[38] x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} 이 때 타원의 넓이를 A라 하면 다음과 같이 계산할 수 있다. A = π a b {\displaystyle A=\pi ab} 라디안의 정의 각의 크기를 나타내는 무차원 단위인 라디안은 오른쪽 그림과 같이 정의하여 반지름과 호의 길이가 같을 때 1라디안이 된다. 따라서, 원 전체는 2π라디안이고 이를 도로 환산하면 다음과 같다.[38] π라디안 = 180° 바젤 문제 [ 편집 ] 1687년 스위스의 바젤의 수학 교수였던 야코프 베르누이와 요한 베르누이 형제는 조화급수가 발산한다는 사실을 증명하였다. 그러나, 조화급수의 각 분모를 제곱한 다음 식을 닫힌 형식으로 나타내는 것에는 실패하였으며 논문의 끝에 이 문제를 해결하였다면 알려주기 바란다고 적었다. 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots } 당대의 유명한 수학자들이 이 문제를 풀기 위해 시도하였으나 결국 실패하였고, 이 문제는 바젤 문제로 알려지며 해석학자의 악몽으로까지 불리게 되었다. 이를 해결한 사람은 레온하르트 오일러로 1735년에 이 급수의 값이 다음과 같다는 것을 증명하였다. π 2 6 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots } 후일 이 급수는 다음과 같은 일반식으로 표현되었는데 이것이 리만 제타 함수이다.[39] {\displaystyle \!} 리만 제타 함수는 s가 짝수일 때 위 식을 이용하여 그 값을 쉽게 계산할 수 있으나 홀수일 때는 자명하지 않다. 1978년 s가 3일 때 무리수로 수렴하는 것이 증명되었다. 이 수렴값은 아페리 상수라고 한다.[40] 복소수 계산 [ 편집 ] φ 가 π 라디안(180°)으로 증가하는 동안 오일러 등식이 성립함을 보인다. 복소평면 에 그린 오일러의 공식 . 각라디안(180°)으로 증가하는 동안 오일러 등식이 성립함을 보인다. 복소수 z {\displaystyle z} 는 극좌표계를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.[41] z = r ⋅ ( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ ) {\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )} 복소해석학에서 π는 복소수 변수가 지수 함수에서 보이는 행동과 연관이 있으며 오일러의 공식에 따라 다음과 같이 표현할 수 있다. e i φ = cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi \!} i는 허수 단위이기 때문에 i2 = −1 이므로 이를 π라디안(=180°)과 함께 자연로그의 밑 e의 지수로 표현하면 다음과 같은 오일러 등식을 얻는다. e i π = − 1. {\displaystyle e^{i\pi }=-1.\!} 따라서 n 번째 단위근은 다음과 같다. e 2 π i k / n ( k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 … , n − 1 ) {\displaystyle e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\dots ,n-1)} 이제 가우스 적분으로 나타내면, ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}} 이 결과는 반정수의 감마 함수가 √π의 유리수 곱임을 뜻한다. 확률과 통계 [ 편집 ] 확률과 통계에서 원주율이 등장하는 정리들은 다음과 같은 것들이 있다. 정규분포를 따르는 확률분포의 평균을 μ, 표준편차를 σ라 하면, 가우스 적분의 값을 상쇄하기 위해 정규분포의 확률 밀도 함수는 f ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 {\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}} 이 된다.[42] f ( x ) = 1 π ( 1 + x 2 ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}} 참고로, 모든 확률 밀도 함수는 다음과 같이 적분한다.[44] ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1} 조르주루이 르클레르 드 뷔퐁이 제기한 뷔퐁의 바늘 문제는 원주율의 근삿값을 구하는 경험주의적인 방법으로 거론된다. 길이가 L인 바늘을 일정 간격으로 그린 평행선에 떨어뜨린다고 가정해 보자. 이 때 평행선의 간격 S가 바늘의 길이보다 크다고 하면, 바늘을 떨어뜨린 횟수 n번에 대해 바늘이 평행선 밖으로 나간 횟수 x번(단, x>0)에는 몬테카를로 방법에 의해 다음과 같은 관계가 있다.[45]

π ≈ 2 n L x S . {\displaystyle \pi \approx {\frac {2nL}{xS}}.}

즉, 뷔퐁의 바늘 문제에서 바늘을 떨어뜨리는 횟수가 매우 많아지면 바늘이 평행선을 벗어나는 횟수에 대한 바늘을 떨어뜨린 전체 횟수의 비는 원주율에 근사한다.

물리학 [ 편집 ]

회전하는 물체에는 각속도 가 있다

원주율 자체는 물리 상수가 아니지만 물리학의 여러 분야에서 두루 사용한다. 이는 자연 현상의 상당수가 원과 관계가 있기 때문이다. 예를 들어 회전수를 일정하게 유지하는 등속원운동에서 각속도와 원주속도는 다음과 같이 계산할 수 있다.[46]

각속도를 ω (= θ / 초), 분당 회전수를 N이라 하면 ω = 2 π N 60 {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi N}{60}}} 이때, 반지름을 r이라 하면 원주속도 v는 v = r ⋅ ω = 2 r π N 60 {\displaystyle v=r\cdot \omega ={\frac {2r\pi N}{60}}}

이 외에 물리학에서 원주율을 사용하는 경우는 다음과 같다.

불확정성 원리에 따라, 양자 역학적인 물리량은 동시에 정확히 관찰할 수 없다. 예를 들어 입자의 특정 위치를 Δ x라 하고 이 때의 운동량을 Δ p 라 하면, 이 둘의 크기를 둘 다 정확히 관찰할 수는 없으며 다음 식을 사용해 확률적으로만 계산한다.[47]

Δ x Δ p ≥ h 4 π {\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}

같이 보기 [ 편집 ]

주해 [ 편집 ]

참고 [ 편집 ]

원주율 – 나무위키:대문

1 thg 1, 2023 — 원주율(圓周率), 파이( π \pi π, pi)는 원의 지름에 대한 원주(원둘레)의 비율을 뜻하며, 그 값은 약 3.14[1]이다. 원주율을 알고 있다면 원의 둘레의 …

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π를 계산하는 특별한 방법

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루트계산과 파이에 대하여 – 우린친구블로그

바퀴를 발명하기 훨씬 이전에 이미 인간은 여러 개의 원들이 이상하게도 일정한 형태 갖고 있음을 인식하였을 것이다. 동료인간이나 그들이 기르고 있는 동물들의 눈동자, 혹은 너울거리는 달과 태양의 표면, 또는 꽃잎에서도 원 또는 원과 비슷한 모양을 보았을 것이며 원이 갖고있는 무한한 대칭성을 발견하였을 것이다. 즉, 바로 그때 인간은 비로소 양적 개념을 파악하기 시작하였을 것이다. -크고 작은 원이라든가 높고 낮은 나무들, 가볍고 무거운 돌들을 구별하는 양적 개념을 파악하기 시작하였을 것이다. -추측하건대 이후 이러한 양적 개념이 발달하여 비례하는 양이 일정한 비를 가지고 있다는 것을 발견한 데서 pi라는 개념이 나왔을 것이다. 즉 원의 지름이 길수록, 그 원둘레도 길어진다는 비례의 개념이 생기면서, 모든 원에 대하여 둘레길이 : 지름 = 상수 일 것이라는 추측을 하였을 것이다.

원주율은 한 원의 둘레의 길이와 지름의 길이의 비이다. 이 비는 원의 크기가 어떻든 간에 언제나 일정하기 때문에 상수이다. 이것을 수학에서는 pi라고 부른다. pi는 그리스어의 둘레의 첫 문자이다. 오늘날에는 중학생정도라면 누구든지 고대이집트의 신관이나 로마제국의 우수한 건축가보다도 훨씬 정확하게 원의 지름으로부터 원의 둘레를 계산할 수 있을 것이다. 고대이집트인은 원의 ‘둘레가 기름의 3.16배, 로마인은 3.12배라고 보았듯이 후대의 수학자들은 기하학을 이용하여 보다 엄밀하게 계산해서 원주율을 구한 반면에 고대이집트나 로마의 수학자들은 단지 경험만으로 이 값을 구하였다. 그러나 경험적 방법으로는 정확한 pi의 값을 구하는 것은 불가능하다고 할 수 있다. 여기서는 원에 대한 개념의 발생으로부터 시작하여 pi를 구하기 위한 고대 수학자들의 노력에 대해서 알아보고자 한다.

고대문헌에서 가장 많이 발견되는 pi의 측정값인 25/8 < pi < 22/7도 위와 같은 방법으로 구하였을 것이다. 예를 들면 열왕기상 7장 23절과 역대기하 4장2절에 다음과 같은 구절이 있다. "또 바다를 부어만들었으니 그 직경이 10 규빗이요, 그 모양이 둥글며 그 高는 다섯 규빗이요, 주위는 삼십규빗 줄을 두를 만 하며..." 여기서 바다는 둥글다고 하였다. 그리고 원의 둘레는 30규빗이고, 지름은 10규빗이다. 따라서 성경에 나오는 pi의 값은 pi=3이 된다. 서기 500년경 만들어진 「구약성서」의 주석서인 「탈무드」에도 "둘레가 세뼘 되는 원의 지름은 한 뼘이다."라고 되어있다. 이러한 시기에는 pi의 값이 상당히 정확히 알려져 있는 데도 성서나 탈무드의 제작자들은 그렇지가 않았던 모양이다. 이는 앞으로도 계속 과학과 종교의 대결적 양상으로 발전하게된다.

11 thg 3, 2014 — 루트계산과 파이에 대하여 · 루트란 제곱의 반대 · 루트는 어떤 수를 몇 제곱을 하면 다른 어떤 수가 나오는 지를 표현한 것입니다. · 쉽게 말하면 · 원주율 …

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파이(π) = 2 임을 증명하는 영상

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루트계산과 파이에 대하여

루트계산과 파이에 대하여

출처 : http://gtska.com/77 / http://soff.tistory.com/209

루트란 제곱의 반대

루트는 어떤 수를 몇 제곱을 하면 다른 어떤 수가 나오는 지를 표현한 것입니다.

루트2=1.414

루트2는 제곱했을 때 1보다 크고 2보다 작은 수이다.

출처 : http://k.daum.net/qna/view.html?qid=4q5J3

쉽게 말하면

원주율이란 원주가 지름의 약 3,14배가 된다는 말이다.

원주/지름 = 3,14……..

원주의 길이와 그 지름과의 비의 값을 말하며 반지름 r인 원의 원주의 길이를 l이라 하면, 원주의 길이 l과 지름의 길이 2r와의 비는 반지름의 길이에 관계없이 일정하다. 이 비 l/2r이 원주율이며, 그리스문자 π(파이:둘레를 뜻하는 그리스어의 머리글자)로 나타낸다.

원주율 pi 이야기

*원주율이란 무엇인가?

원주율은 한 원의 둘레의 길이와 지름의 길이의 비이다. 이 비는 원의 크기가 어떻든 간에 언제나 일정하기 때문에 상수이다. 이것을 수학에서는 pi라고 부른다. pi는 그리스어의 둘레의 첫 문자이다. 오늘날에는 중학생정도라면 누구든지 고대이집트의 신관이나 로마제국의 우수한 건축가보다도 훨씬 정확하게 원의 지름으로부터 원의 둘레를 계산할 수 있을 것이다. 고대이집트인은 원의 ‘둘레가 기름의 3.16배, 로마인은 3.12배라고 보았듯이 후대의 수학자들은 기하학을 이용하여 보다 엄밀하게 계산해서 원주율을 구한 반면에 고대이집트나 로마의 수학자들은 단지 경험만으로 이 값을 구하였다. 그러나 경험적 방법으로는 정확한 pi의 값을 구하는 것은 불가능하다고 할 수 있다. 여기서는 원에 대한 개념의 발생으로부터 시작하여 pi를 구하기 위한 고대 수학자들의 노력에 대해서 알아보고자 한다.

*원주율의 개념은 어떻게 발전했을까?

바퀴를 발명하기 훨씬 이전에 이미 인간은 여러 개의 원들이 이상하게도 일정한 형태 갖고 있음을 인식하였을 것이다. 동료인간이나 그들이 기르고 있는 동물들의 눈동자, 혹은 너울거리는 달과 태양의 표면, 또는 꽃잎에서도 원 또는 원과 비슷한 모양을 보았을 것이며 원이 갖고있는 무한한 대칭성을 발견하였을 것이다. 즉, 바로 그때 인간은 비로소 양적 개념을 파악하기 시작하였을 것이다. -크고 작은 원이라든가 높고 낮은 나무들, 가볍고 무거운 돌들을 구별하는 양적 개념을 파악하기 시작하였을 것이다. -추측하건대 이후 이러한 양적 개념이 발달하여 비례하는 양이 일정한 비를 가지고 있다는 것을 발견한 데서 pi라는 개념이 나왔을 것이다. 즉 원의 지름이 길수록, 그 원둘레도 길어진다는 비례의 개념이 생기면서, 모든 원에 대하여 둘레길이 : 지름 = 상수 일 것이라는 추측을 하였을 것이다.

만약 어떤 원의 둘레와 지름이 서로 비례하는 양으로 생각되었다면 그 비는 당연히 다음과 같이 될 것이다.

원둘레의 길이 : 지름=상수

즉 pi = 원의 둘레/원의 지름

그러면 고대인들은 어떻게 pi의 값을 구하였을까?

이는 확실히 알 수는 없지만 추측해보면 다음과 같다.

가장 쉬운 방법은 하나의 원을 택하여 그 지름과 둘레를 재고 나서 두 길이의 비를 재어보는 것이다. (우리에게 주어진 것이 박대기와 밧줄밖에 없다고 가정하자.)

강변의 평평한 모래 위에다 말뚝을 밖아 튼튼한 줄을 연결한다. 다른 한쪽 끝을 잡아 팽팽하게 한 후에 모래밭을 둥글게 걸어가며 원모양을 그린다. 이때 사용한 밧줄의 길이가 이 원의 반지름의 길이이다. 이번에는 반지름길이의 두 배가되는 긴 밧줄을 사용한다. 이 밧줄의 길이가 원의 지름이며 앞으로 사용하게될 길이의 단위가 된다. 이 밧줄의 한 쪽 끝을 원 위의 점 B에 다다르게 한다.

다시 점 B에서 출발하여 이 작업을 한 번 더 원 위에서 실행하여 점 D를 정한다. 이 결과로 원의 둘레에는 지름이 세 개 놓여지고 악간의 여분(AD)이 있게 된다는 것을 알 수 있다. 만약 우리가 그 여분을 무시하고 가장 가까운 정수의 값을 취하게 된다면 pi는 3의 값을 얻게된다. 좀더 정확한 측정값을 얻자면 나머지길이 DA를 우리가 정한 단위길이 (지름)의 분수로 나타내야한다. 이를 위하여 DA의 길이가 지름 위에 몇 번 표시할 수 있는지 세어보다. 그 수는 7번과 8번 사이에 있게 될 것이다. 그러므로 우리는 pi의 측정값으로

25/8 < pi < 22/7을 얻을 수 있을 것이다. 기원전 2000 년 경 바발로니아 인들은 pi = 25/8으로 계산하였고 이집트 인들은 256/81 로 계산하였다. 고대인들은 정확한 계산을 중시 여겼는가? 그렇다. 그들은 정확한 계산이야말로 존재하는 모든 사물과 숨겨진 모든 비밀에 대한 지식의 입구라고 생각하였다. 또한 농경 사회이던 고대 이집트와 그 밖의 곳에서 승려들은 달력의 보관자로서 수학과 밀접하게 관련되어 있었다. 그들은 일식과 월식을 예언할 수 있었고, 나일로미터라는 관측기로 강의 수위를 측정하여 다가오는 홍수나 가뭄을 예언할 수 있었기에 이러한 과학적 지식이 무지한 평민을 지배할 수 있는 무기라고 확신하였다. *성경은 pi를 어떻게 다루었나? 고대문헌에서 가장 많이 발견되는 pi의 측정값인 25/8 < pi < 22/7도 위와 같은 방법으로 구하였을 것이다. 예를 들면 열왕기상 7장 23절과 역대기하 4장2절에 다음과 같은 구절이 있다. "또 바다를 부어만들었으니 그 직경이 10 규빗이요, 그 모양이 둥글며 그 高는 다섯 규빗이요, 주위는 삼십규빗 줄을 두를 만 하며..." 여기서 바다는 둥글다고 하였다. 그리고 원의 둘레는 30규빗이고, 지름은 10규빗이다. 따라서 성경에 나오는 pi의 값은 pi=3이 된다. 서기 500년경 만들어진 「구약성서」의 주석서인 「탈무드」에도 "둘레가 세뼘 되는 원의 지름은 한 뼘이다."라고 되어있다. 이러한 시기에는 pi의 값이 상당히 정확히 알려져 있는 데도 성서나 탈무드의 제작자들은 그렇지가 않았던 모양이다. 이는 앞으로도 계속 과학과 종교의 대결적 양상으로 발전하게된다. *원주율 pi의 수치는 대체 얼마인가? 이 수치를 구하기 위하여 옛날부터 그 얼마나 낳은 수학자들이 머리를 짰는지 모른다. 많은 수학자들의 고심에 찬 노력에 의하여 pi의 수치는 날이 갈수록 더 정확해졌다. 이제 여러 수학자들의 pi를 구하기 위한 노력을 알아보기로 하자. 많은 수학자들은 일반적으로 원의 내접 정다각형 또는 외접 정다각형의 둘레의 길이로 근사 값을 대체하였다. 이 대표적인 수학자는 아르키메데스 이다. 처음에는 사람들은 이러한 방법으로 pi의 완전한 값을 구할 수 있다고 생각하였다, 그러나 정작 계산해 놓고 보니 계산할수록 복잡하여 끝까지 계산할 수 없었다. 16세기 중엽에 이르러서야 프랑스의 수학자 프랑수아 비에타가 pi는 무리수(무한 비순환소수)로서 일정한 법칙에 따라 끝없이 계산할 수 있다는 것을 수학적으로 증명하였다. pi는 분수와는 다르다. 이를테면 분수 1/3은 무한 소수이기는 하지만 pi보다는 간단하다. *뷔퐁의 바늘 문제 계산상의 가장 독특한 방법중의 하나는 18세기 프랑스의 박물학자 뷔퐁 백작의 바늘문제이다. 이 방법은 조금 어렵기는 하지만 함수의 극한 문제를 이용한다. 바늘을 떨어트린 횟수를 바늘의 교차한 수로 나누면 pi의 값을 얻을 수 있다. 물론 이 것은 근사값이다. 따라서 pi = 떨어뜨린 횟수/교차횟수 바늘을 떨어뜨린 횟수가 많으면 많을수록 pi의 값은 정확하게 된다. 스위스의 천문학자 보르프는 19세기 중엽에 방안지 위에 5,000회 바늘을 떨어뜨려 그 결과로 3.159...라는 값을 얻었다. 이것은 아르키메데스가 구한 값보다는 부정확하다. 그러나 원도 그릴 필요 없이 실험만으로 pi를 구할 수 있다는 것은 재미있는 일이다. 기하학과 원에 대해 모르는 사람이라 하더라도 바늘을 몇천 번씩 던질 끈기만 있다면 이 방법을 사용해서 pi의 값을 구할 수 있을 것이다. 우리는 이를 확률편에서 좀 더 자세히 다룰 것이다. 다시 고대로 돌아가서 중국의 경우 를 보기로 하자. 옛날 중국에서는 주삼경일(周三經一,즉 pi=3)이라는 말이 있다. 이것은 서기100여 년 전의 「주비산경」이라는 책에 기재되어 있다. 그 후에 원주율이 3보다 좀 켜야 한다는 것을 차츰 알게 되었다. 동한 때에 와서 중국의 천문학자이며 수학자인 장형은 아주 묘한 수치를 응용하여 원주율이 10의 제곱근 과 같다고 하였다. 이 수치는 아주 간편하여 기억하기 쉽다. 위진 때 와서는 중국 수학자 유위는 263년에 「구장산술」에 주해를 달 때 '주삼경일'은 내접 정육각형의 둘레와 지름의 비율로서 이것으로는 내접 정12각형의 면적밖에 계산하지 못한다고 지적하였다. 그는 원의 면적을 더욱 정확하게 계산해 내기 위하여 할원술을 창조하였다. 그는 "작게 쪼갤수록 적게 무지러지고 또 쪼갤 수 없을 때까지 쪼개면 원(주)과 일치되며 무지러지는 것이 없게 된다." 그는 할원수로 원의 내접 정 192각형의 면적을 계산하여 원주율 pi =157/50 =3.14을 얻어내고 후에 또 원의 내접 정 3072각형의 면적을 계산하여 정확도가 높은 원주율 pi =2927/1250 = 3.1416 을 얻었다. 유휘가 이처럼 원의 내접 다각형의 면적을 원의 면적에 접근시킨 여기에는 극한의 관념이 내포되었는데 이는 수학에서 하나의 창조이다. 원주율을 구하는 일에서 남북조 때의 과학자 조충지 가 가장 빛나는 성과를 올렸다고 할 수 있다. 조충지는 pi의 값을 3.1415926과 3.1415927사이로 정확하게 추산해 내었는데 오늘에 이르기까지 한자도 틀림이 없다. 이것이 세계에서 제일 먼저 나온 7자리 소수의 정확한 값이다. 조충지의 이 성과는 「철술」이라는 책에 기재되어 있다. 조충지는 뒤에 '약률'이라고 하는 분수 값과 '밀률'이라고 하는 분수 값을 제기했는데 약률 pi = 22/7, 이고 밀률 pi=355/113 = 3.141529 이다. 이 약률은 그리스의 학자 아르키메데스가 제기한 원주율과 같다. 그러나 밑률은 유럽에서 16세기 에 이르러서야 비로소 독일 수학자 오토와 홀랜드의 수학자 안토니츠에 의하여 제기되었다. 이는 중국보다 1000여 년이나 늦다. 이것은 실로 중국수학의 개가라 할 수 있다. 그래서 달의 뒷면에 있는 하나의 산 곡을 '조충지'라고 이름을 붙였다. 조충지는 국제적으로 모두 대단한 존경을 받고 있다. 이 밀률은 기억하기도 쉽다. 113355와 같이 3쌍의 연속된 홀수를 차례로 한 줄에 배열하고 앞에 있는 113을 분모, 뒤에 있는 355를 분자로 하는 분수를 고치면 된다. 유럽에서 15세기 후에 과학기술이 활발하게 발전함에 따라 이른바 방원(같은 면적의 사각형과 원을 구하기)학자들이 많이 나오면서부터 원주률은 날이 갈수록 더욱 정확해졌다. 이런 학자들은 pi의 소수의 자리수가 많을수록 좋은 것으로 생각하였다. 그 가운데 제일 특출한 사람으로는 독일 수학자 루돌프를 들 수 있는데 그는 pi의 값을 소수 35번째 자리까지 구하였다. 이 수치를 다른 학자들이 검사해 보니 한 자도 차이가 나지 않았다. 루돌프는 그가 한 일이 생애의 보람찬 일 이라고 생각하고 임종시에 이 35자리 수치를 묘비에 새겨 달라고 유언을 남겼다. 그래서 일부 독일 사람들은 지금까지 원주율의 값을 '루돌프 값'이라고 부르고 있다. 후에 원주율을 구하는 값이 나날이 개선되어 발전하였으며 소수 자리의 수도 재빨리 늘어났다. 1706년에 이르러서는 400자리로, 1873년에는 707 자리까지 계산되었다. 영국의 수학자 생크스가 이 마지막 수치를 구한 후로는 그 누구도 붓셈으로 구한 일이 없다. 그래서 생크스를 원주율 계산경기에서는 우승자로 칠 수 있다. 생크스는 15년간의 공력을 들여서야 707자리까지 구해냈다. 하지만 애석하게도 나중에 검사해보니 530자리까지만 정확하였다. 전자 계산기가 나오고 부터는 계산기로 원주율을 계산하게 되었기 때문에 pi의 소수의 자리수가 실로 사람을 놀라게 할만큼 늘어나고 있다. 처음에는 어떤 사람이 하루 밤낮으로 2048자리를 구해냈고 1967년에 프랑스의 기요드와 디샹프는 소수 자리의 수를 500,000자리까지 늘렸다. pi의 값이 50만 자리의 소수로 끝났는가? 끝나지 않았다. pi는 끝이 없는 수로서 영원히 다 계산해 낼 수 없다. *현재에도 pi 값을 구하는 행진은 끝나지 않는가? 이 작업은 영원히 계속될 것이다. 예를 들면, 가동하는 데 많은 경비와 시간이 소요되는 수퍼 컴퓨터를 이용하여 pi 값을 구하는 이유는 다음과 같다. 컴퓨터 역시 가동하기 전에, 다른 기계와 마찬가지로, 작업을 신뢰선 있게 수행할 수 있는지를 테스트해 보아야 한다. 그 방법의 하나가 수 십만 자리의 소수들을 계산하게 하고 그 결과를 알고 있는 숫자와 검토하는 것이다. 결과가 일치하면, 그 컴퓨터는 수백만의 산술적 연산을 착오없이 수행한 것이 된다. 이러한 작업은 또한 컴퓨터 프로그래머들을 훈련시키는 좋은 도구도 된다. *그들은 어떻게 pi 값을 기억했을까? 과연 계산하여 구한 pi 의 값을 그들은 어떻게 기억했을까? pi의 소숫점 이하 자릿수들을 사람들의 기억 장치에 담아두는 다양한 기억술들이 있다. 예를 들어 다음 문장의 각 단어들의 철자수는 pi의 자릿수들을 보여주고 있다. 불어와 독일어에도 이러한 목적을 위하여 씌어진 시들이 있다. 다음은 불어로 씌어진 시이다. 위의 시는 몇몇 독일인들을 자극하여 다음과 같은 류턴 가락의 과장된 시를 쓰게 하였다. 위의 두 시는 소수 29자리까지 pi값을 알여준다. == pi와 관련된 퀴즈들 == 1.머리인가 발인가 줄 베르느의 소설 중에 주인공 한 사람이 세계일주 여행을 했을 때 머리와 발끝중 어느 쪽이 더 많이 여행했을까를 계산해 보았는데 확실히 차이가 있었다고 한다. 다음의 문제를 풀어보자. 그 차는 2 pi(r + 1.7) - 2 pi r = 10.7(근사값) 따라서 머리는 발보다도 10.7m이상 여행한 것이다. 여기서 발견되는 재미있는 사실 하나는 반지름이 서로 다른 지구에서나 목성에서나, 또는 다른 소혹성에서도 머리는 발보다 항상 10.7m이상 여행한다는 것이다. 일반적으로 두 동심원(발이 그린 원과 머리가 그린 원)의 원둘레의 차는 반지름과 무관하며, 단지 반지름의 차에 의해서만 결정된다. 즉 반지름이 1Cm 길어졌을 때 원주의 길이가 늘어나는 비율은 거대한 태양에서나 백원 짜리 동전에서나 모두 같다. 2.적도에 감은 철사

파이(π) 값 소숫점 아래 62조8000억 번째 자리까지 알아냈다 …

이후 y-크런처는 원주율을 계산하는 대표적인 프로그램이 됐다. 구글 클라우드 개발자인 엠마 하루카 이와오는 클라우드 컴퓨팅 기술을 이용해 20여 개의 엔진 클러스터에서 y-크런처를 이용해 원주율을 계산했고, 121일간 170TB의 데이터를 사용해 소수점 아래 31조4159억2653만5897번째 자리까지 계산하며 2019년 새로운 원주율 기록을 세웠다. 지난해 50조 번째 자릿수를 달성한 멀리컨도 y-크런처를 사용했다. 그라운뷘덴 응용과학대 연구진도 y-크런처를 이용해 16진법으로 계산된 원주율 값을 10진법으로 변환했으며, 이 과정에 3주가량이 걸렸다고 밝혔다.

NASA는 지구에서 가장 먼 지점을 탐사 중인 보이저 1호의 궤도를 예로 들어 원주율을 소수점 아래 15번째 자리까지 사용하면 보이저 1호가 지구에서 250억 마일(약 402억km) 떨어진 지점에 있을 때 이를 반지름으로 하는 원둘레 오차가 1.5인치(약 3.8cm) 수준에 불과하다고 설명했다. NASA는 450억 광년인 우리은하의 둘레를 양성자 크기(1000억분의 1m)보다 작은 오차로 계산하는 데는 원주율이 소수점 아래 39~40자리 정도면 충분하다고 덧붙였다.

그라운뷘덴 응용과학대 ‘데이터 분석·시각화 및 시뮬레이션 센터(DAViS)’는 ‘파이 챌린지’를 통해 세계에서 가장 정확한 원주율을 계산하는 프로젝트를 진행해왔다. 파이 챌린지는 원주율 자체를 정확하게 알아낸다는 목표도 있었지만, 원주율을 계산하는 과정에서 제한된 예산과 컴퓨터 성능, 메모리 수 등 슈퍼컴퓨터의 물리적 한계를 극복할 수 있는 계산 알고리즘을 확립한다는 목적이 더 컸다.

17 thg 8, 2021 — 스위스 연구진이 파이(π) 값을 소수점 아래 62조8000억 번째 자리까지 밝혀내 세계에서 가장 정확한 원주율을 알아내는 데 성공했다.

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Can Any of You Memorize Pi?? Memorizing up to the 10,000th Number!!

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파이(π) 값 소숫점 아래 62조8000억 번째 자리까지 알아냈다…세계 기록 경신

스위스 그라운뷘덴 응용과학대, 108일 9시간 걸려 계산

픽사베이 제공

스위스 연구진이 파이(π) 값을 소수점 아래 62조8000억 번째 자리까지 밝혀내 세계에서 가장 정확한 원주율을 알아내는 데 성공했다. 직전 최고 기록은 지난해 1월 미국의 티모시 멀리컨이 세운 소수점 이하 50조 번째 자리였다.

AFP통신은 16일(현지 시간) 스위스 그라운뷘덴 응용과학대 연구진이 슈퍼컴퓨터를 이용해 원주율을 소수점 아래 62조8000억 번째 자리까지 계산하며 새로운 세계 기록을 세웠다고 보도했다. 연구진이 이를 계산하는 데 걸린 기간은 108일 9시간으로 50조 번째 자리까지 계산하는 데 걸린 303일을 3배가량 단축했다.

그라운뷘덴 응용과학대 ‘데이터 분석·시각화 및 시뮬레이션 센터(DAViS)’는 ‘파이 챌린지’를 통해 세계에서 가장 정확한 원주율을 계산하는 프로젝트를 진행해왔다. 파이 챌린지는 원주율 자체를 정확하게 알아낸다는 목표도 있었지만, 원주율을 계산하는 과정에서 제한된 예산과 컴퓨터 성능, 메모리 수 등 슈퍼컴퓨터의 물리적 한계를 극복할 수 있는 계산 알고리즘을 확립한다는 목적이 더 컸다.

연구진은 140일 이내에 원주율을 계산해낸다는 목표로 지난해 4월 28일 파이 챌린지를 시작했고, 이달 14일(현지 시간) 소수점 아래 62조8318억5307만1796번째 자리까지 계산하는 데 성공했다. 이들이 계산한 원주율의 마지막 열 자리는 ‘7817924264’다.

연구진은 이를 위해 AMD의 에픽(EPYC) 7542 CPU(중앙처리장치) 2개와 램 1테라바이트(TB), 16TB 용량의 7200RPM 하드디스크 38개 등이 탑재된 슈퍼컴퓨터를 이용했다. 연구진이 이를 이용해 원주율 계산에 사용한 데이터는 510TB에 이른다.

연구진은 원주율을 구하는 데 사용한 계산법을 스위스국립알레르기및천식연구(SIAF)에서 DNA의 염기서열을 분석하는 데 활용할 계획이다. 또 머신러닝의 학습 능력을 끌어올리기 위한 정부 프로젝트에도 적용할 계획이다.

연구를 이끈 하이코 롤케 교수는 “원주율 계산을 준비하고 수행하는 과정에서 많은 노하우를 축적했고, 계산 프로세스를 최적화할 수 있었다”며 “이를 RNA 분석, 유체역학 시뮬레이션 등에 활용할 수 있을 것”이라고 말했다.

스위스 그라운뷘데 응용과학대 연구진이 원주율을 소수점 아래 62조8000억 번째 자리까지 계산하는 데 성공했다고 밝히며 공개한 계산 과정. 연구진은 이 화면 아래에 “원주율 계산을 성공적으로 완료했다”고 밝혔다. 그라운뷘데 응용과학대 제공

최근 원주율의 소수점 계산은 슈퍼컴퓨터의 성능을 테스트하는 기준으로 여겨지고 있다. 계산이 복잡할수록 하드웨어나 소프트웨어가 중단될 수 있고, 오류가 생길 가능성도 크기 때문이다.

2002년 가나다 야스마사 일본 도쿄대 교수팀은 소수점 아래 1조2411억 자릿수까지 계산하며 처음으로 원주율의 소수점 1조 자리 시대를 열었다. 당시 가나다 교수팀은 병렬 슈퍼컴퓨터인 히타치 SR800/MPP를 사용해 600시간(25일) 만에 계산을 끝냈다.

이후 2011년 일본의 회사원인 곤도 시게루가 자신이 직접 조립한 48TB 용량의 하드디스크를 장착한 개인용 컴퓨터와 미국 대학원생이 개발한 새로운 계산 프로그램인 ‘y-크런처’를 이용해 처음으로 원주율 값을 소수점 아래 10조 자리까지 계산하는 데 성공했다. 여기에 걸린 시간은 1년이 조금 넘는 371일이었다.

이후 y-크런처는 원주율을 계산하는 대표적인 프로그램이 됐다. 구글 클라우드 개발자인 엠마 하루카 이와오는 클라우드 컴퓨팅 기술을 이용해 20여 개의 엔진 클러스터에서 y-크런처를 이용해 원주율을 계산했고, 121일간 170TB의 데이터를 사용해 소수점 아래 31조4159억2653만5897번째 자리까지 계산하며 2019년 새로운 원주율 기록을 세웠다. 지난해 50조 번째 자릿수를 달성한 멀리컨도 y-크런처를 사용했다. 그라운뷘덴 응용과학대 연구진도 y-크런처를 이용해 16진법으로 계산된 원주율 값을 10진법으로 변환했으며, 이 과정에 3주가량이 걸렸다고 밝혔다.

원주율은 다양한 과학기술 분야에 활용되지만 실제로 수십 조 자릿수까지 필요한 것은 아니다. 2016년 미국항공우주국(NASA) 제트추진연구소(JPL)는 원주율은 소수점 아래 열다섯 번째 자리(3.141592653589793)까지만 이용하면 행성 간 탐사에 필요한 값을 정확히 계산할 수 있다고 설명했다.

NASA는 지구에서 가장 먼 지점을 탐사 중인 보이저 1호의 궤도를 예로 들어 원주율을 소수점 아래 15번째 자리까지 사용하면 보이저 1호가 지구에서 250억 마일(약 402억km) 떨어진 지점에 있을 때 이를 반지름으로 하는 원둘레 오차가 1.5인치(약 3.8cm) 수준에 불과하다고 설명했다. NASA는 450억 광년인 우리은하의 둘레를 양성자 크기(1000억분의 1m)보다 작은 오차로 계산하는 데는 원주율이 소수점 아래 39~40자리 정도면 충분하다고 덧붙였다.

원주율(pi) 소수 1000자리까지

원주율(pi) 소수 1000자리까지. 원은 아름답다. pi = 3. 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 …

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원주율 알아보기(파이가 무리수인 이유)

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[원주율] (주장) 원주율은 π = 3.14가 아니라 π = 4이다.

수학사에서 원주율(π)의 계산만큼 수학자들을 고생시킨 것도 없다. 직선인 지름의 길이를 재는 것은 매우 쉽지만, 곡선인 원주를 재는게 매우 힘들기 때문이다. 기원전부터 몇 천년 동안 수많은 수학자들이, 그것도 거의 모든 수학자가 한 번은 이 계산을 했다는 것을 생각하면 원주율(π)의 계산이 얼마나 어려운 일이었는지 알 수 있다. 707자리까지 계산하는데도 몇 천년이라는 세월이 걸렸다. 원주율 계산에 무려 일생을 바친 수학자도 있었으니… 이와 같은 어리석음(?)때문에 지금은 컴퓨터의 발명과 함께 소수점 몇 억 자리까지도 단시간에 계산할 수 있다. 이 원주율 파이(π)는 수학의 모든 분야에서 널리 이용되므로 이 수의 근사함, 불가사의함은 수학도들에게 지금도 깊은 애정을 갖게 한다.

더욱이 그 값은 3.1415926535…로 순환하지 않는 무한소수, 즉 무리수이다. 이 값을 간단히 파이(π)로 나타내기로 한 것이다. 즉, 파이(π)는 원주율을 나타내는 기호이자 수인 것이다. 끝까지 쓸 수 없는 이 무리수를 근사값으로 간단히 3.14라고 하는 것이다. 이것은, 지름 3.14개로 원의 둘레를 만들 수 있다는 것을 의미하며, 모든 원은 서로 닮음이므로 그 원주율 역시 항상 같다.

‘원주율이 뭐지?’ 하고 질문을 하면 대부분 파이(π)나 3.14라는 답을 내놓는다. 그러나, 그것이 무엇을 의미하는지는 정확히 알지 못한다. 원주율의 ‘율’이라는 단어에서 알 수 있듯이 무엇인가에 대한 비율임에 틀림없다. 원주는 원의 둘레를 말한다. 결국, 원주율 π는 원주(원둘레, Circumference)의 길이를 원의 지름(Diameter)으로 나눈 값(비율)을 말한다.

10 thg 9, 2011 — 즉, 파이(π)는 원주율을 나타내는 기호이자 수인 것이다. 끝까지 쓸 수 없는 이 무리수를 근사값으로 간단히 3.14라고 하는 것이다. 이것은, 지름 3.14 …

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[원주율] (주장) 원주율은 π = 3.14가 아니라 π = 4이다.

[원주율] (주장) 원주율은 π = 3.14가 아니라 π = 4이다.

원주율 파이(π=3.14)는 사랑처럼 변하지 않는다.

‘원주율이 뭐지?’ 하고 질문을 하면 대부분 파이(π)나 3.14라는 답을 내놓는다. 그러나, 그것이 무엇을 의미하는지는 정확히 알지 못한다. 원주율의 ‘율’이라는 단어에서 알 수 있듯이 무엇인가에 대한 비율임에 틀림없다. 원주는 원의 둘레를 말한다. 결국, 원주율 π는 원주(원둘레, Circumference)의 길이를 원의 지름(Diameter)으로 나눈 값(비율)을 말한다.

더욱이 그 값은 3.1415926535…로 순환하지 않는 무한소수, 즉 무리수이다. 이 값을 간단히 파이(π)로 나타내기로 한 것이다. 즉, 파이(π)는 원주율을 나타내는 기호이자 수인 것이다. 끝까지 쓸 수 없는 이 무리수를 근사값으로 간단히 3.14라고 하는 것이다. 이것은, 지름 3.14개로 원의 둘레를 만들 수 있다는 것을 의미하며, 모든 원은 서로 닮음이므로 그 원주율 역시 항상 같다.

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수학사에서 원주율(π)의 계산만큼 수학자들을 고생시킨 것도 없다. 직선인 지름의 길이를 재는 것은 매우 쉽지만, 곡선인 원주를 재는게 매우 힘들기 때문이다. 기원전부터 몇 천년 동안 수많은 수학자들이, 그것도 거의 모든 수학자가 한 번은 이 계산을 했다는 것을 생각하면 원주율(π)의 계산이 얼마나 어려운 일이었는지 알 수 있다. 707자리까지 계산하는데도 몇 천년이라는 세월이 걸렸다. 원주율 계산에 무려 일생을 바친 수학자도 있었으니… 이와 같은 어리석음(?)때문에 지금은 컴퓨터의 발명과 함께 소수점 몇 억 자리까지도 단시간에 계산할 수 있다. 이 원주율 파이(π)는 수학의 모든 분야에서 널리 이용되므로 이 수의 근사함, 불가사의함은 수학도들에게 지금도 깊은 애정을 갖게 한다.

그러나! 순수이성비판은 다른 주장을 하고 싶다.

“원주율 π = 4이다.”

지름이 1인 원의 둘레는 π(=3.14159…)이다.

ⓐ 지름이 1인 원에 접하는, 둘레(Perimeter)가 4인 정사각형(Square)을 그린다.

ⓑ 그리고 그림처럼 귀퉁이들(Corners)을 계속 제거한다(Remove). 그래도 검은색 다각형의 둘레는 여전히(Still) 4를 유지한다.

ⓒ 이러한 작업을 무한히(Infinity) 반복한다. 그러면 다각형은 원에 거의 가깝게 된다.

ⓓ 결국, 원의 둘레는 4가 된다.

당황스러운가요?

이제 여러분의 재치가 필요할 때입니다.

“π = 4이다.”라고 말하는 저의 주장을 논리적으로 반박해 보세요.

덧글로 고민의 흔적을 보여주십시오.

더욱더 놀라운 것은 π = 4가 아니라 π = ∞라고 주장하는 이가 있답니다.

그건 기회가 닿으면 포스팅할께욤.

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파이

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[동향]원주율 ‘파이(π)’의 시대는 끝났다?

그는 “우리는 교과서를 반드시 고쳐야 한다. 생각보다 많은 것을 바꿀 필요는 없을 것이다. 요즘에는 더 많은 교사가 전자책과 온라인 자료를 사용하기 때문에 큰 일은 아닐 것”이라면서 “이는 야드법을 미터법으로 전환하는 것보다 훨씬 더 간단한 일로 아이들이 수학을 배우기 시작할 때 타우를 가르친다면 더욱 자연스럽게 받아들일 수 있을 것”이라고 강조했다.

고대 이집트와 바빌론인들은 파이의 정확한 수치를 1% 정도의 오차 범위 내에서 파악한 것으로 알려졌다. 성경에는 파이 값의 근사치가 등장하기도 한다. 이런 상수에 윌리엄 존스는 1706년 그리스 문자로 ‘둘레’를 뜻하는 ‘perimeter’의 첫 알파벳에서 따온 ‘파이(π)’라는 이름을 부여했다.

영국의 타우 캠페인을 이끄는 리드대학 수학과의 케빈 휴스턴 박사는 “우리는 최근 수년 동안 파이를 볼 때마다 무언가 잘못된 숫자를 보는 느낌”이라면서 “원과 연계하기에 가장 자연스럽고 적절한 수는 2π, 즉 τ이지 π가 아니다”라고 주장했다.

‘3.14159265358979…’ 원주율, 즉 원주의 길이와 그 지름의 비율을 나타내는 ‘파이(π)’는 소수점 아래 무한대로 내려가는, 수학에서 가장 중요하고 유명한 상수 중 하나 …

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원주율로 만들어진 파이(𝝅)송을 조금 더 웅장하게 [오케스트라 + 피아노 커버 / 이상한 나라의 수학자ost]

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[동향]원주율 ‘파이(π)’의 시대는 끝났다?

2011-06-29

’3.14159265358979…’ 원주율, 즉 원주의 길이와 그 지름의 비율을 나타내는 ‘파이(π)’는 소수점 아래 무한대로 내려가는, 수학에서 가장 중요하고 유명한 상수 중 하나다.

그런데 일단의 수학자들이 파이가 잘못됐다며 이를 다른 상수로 대체할 것을 주장하고 나섰다.

이들은 역사적으로 파이가 갖는 수적 가치가 잘못된 것이 아니라 원의 속성상 이를 일상적으로 원과 연계하는 것이 잘못됐다고 주장한다.

따라서 모든 학교 수학교과서에 있는 파이는 타우(τ)로 대체돼야 한다는 게 이들의 견해다. 타우의 대략적인 값은 6.28로 파이(3.14)의 2배 정도다.

영국 일간지 더 타임스 인터넷판은 28일 타우의 사용을 주장하는 이런 반체제적 수학자들이 이날을 ‘타우의 날(Tau Day)’로 선포했다고 소개했다. 이날을 미국식으로 표기하면 공교롭게도 타우의 값인 ’6.28′과 같게 된다.

영국의 타우 캠페인을 이끄는 리드대학 수학과의 케빈 휴스턴 박사는 “우리는 최근 수년 동안 파이를 볼 때마다 무언가 잘못된 숫자를 보는 느낌”이라면서 “원과 연계하기에 가장 자연스럽고 적절한 수는 2π, 즉 τ이지 π가 아니다”라고 주장했다.

파이는 수학과 과학, 공학의 여러 공식에서 근간이 되는 상수다. 예를 들면 원의 둘레는 지름과 파이를 곱해서 계산하며 원의 넓이는 반지름의 제곱에 파이를 곱해서 구한다.

고대 이집트와 바빌론인들은 파이의 정확한 수치를 1% 정도의 오차 범위 내에서 파악한 것으로 알려졌다. 성경에는 파이 값의 근사치가 등장하기도 한다. 이런 상수에 윌리엄 존스는 1706년 그리스 문자로 ‘둘레’를 뜻하는 ‘perimeter’의 첫 알파벳에서 따온 ‘파이(π)’라는 이름을 부여했다.

그러나 많은 수학 공식이 파이의 두 배, 즉 2π를 사용하기 때문에 이 숫자가 원과 관련된 주요 상수로서 파이를 대신해야 한다는 일부 수학자들의 생각이다.

휴스턴 박사는 “수학자들은 각도를 60분법의 ‘도’가 아니라 호도법에 따른 ‘라디안’으로 측정해 360도를 2π라디안으로 계산한다”면서 “이에 따라 원의 ¼에 해당하는 각도는 π라디안의 ½이 되는 등 불필요한 혼돈이 초래된다”고 지적했다.

그는 “파이 대신에 타우를 사용한다면 얼마나 간단해지겠는가”라고 반문하며 “원 전체에 해당하는 각도는 τ라디안이고 반원은 ½τ라디안이 되는 등 복잡하게 생각할 필요가 없게 된다”고 강조했다.

6.28을 원과 관련한 자연 상수로 사용하자는 제안은 미국 유타대의 밥 팰레이 박사에 의해 처음 제기됐고 미국의 다른 수학자 마이클 하틀 박사가 이를 그리스 문자 ‘π’와 비슷한 모양의 ‘τ’로 표기할 것을 주창했다.

타우의 날을 널리 알리기 위해 휴스턴 박사는 유트브에 관련 동영상을 제작해 올렸고, 하틀 박사는 온라인으로 ‘타우 메니페스토’ 운동을 전개했다.

파이를 타우로 대체하면 고급 수학이 훨씬 쉬워지고 미적분과 같은 수학적 개념을 많은 사람이 더욱 잘 이해하는 데 도움이 될 것이라고 휴스턴 박사는 덧붙였다.

그는 “우리는 교과서를 반드시 고쳐야 한다. 생각보다 많은 것을 바꿀 필요는 없을 것이다. 요즘에는 더 많은 교사가 전자책과 온라인 자료를 사용하기 때문에 큰 일은 아닐 것”이라면서 “이는 야드법을 미터법으로 전환하는 것보다 훨씬 더 간단한 일로 아이들이 수학을 배우기 시작할 때 타우를 가르친다면 더욱 자연스럽게 받아들일 수 있을 것”이라고 강조했다.

‘π’ 값 소숫점 아래 62조 8000억 번째 자리까지 알아냈다

연구진은 108일 9시간에 걸친 계산을 통해 소수점 아래 62조 8318억 5307만 1796번째 숫자를 알아냈다. 연구진이 구한 소수점 아래 숫자의 마지막 열 자리 숫자는 ‘7817924264’였다. 이전 기록은 지난해 2월 미국의 티모시 멀리컨이 303일 동안 계산한 소수점 이하 50조 번째 자리였다. 연구진은 특히 이전 세계 기록이었던 50조 번째 자리까지 계산하는 데 걸린 시간보다 3.5배 빨랐다고 설명했다. 이번 원주율 계산에는 AMD의 에픽(EPYC) 7542 CPU(중앙처리장치) 2개와 1테라바이트(TB) 램, 510TB의 하드디스크 용량 등이 동원됐다. 연구진은 이 원주율 계산 경험을 리보핵산(RNA) 분석과 유체 역학의 모의 실험 등에 적용할 수 있다고 덧붙였다.

한편, 원주율의 소수점 계산은 슈퍼컴퓨터의 성능을 테스트하는 기준으로 여겨지고 있다. 계산이 복잡할수록 하드웨어나 소프트웨어가 중단될 수 있고, 오류가 생길 가능성이 크기 때문이다.

AFP 통신 등 외신에 따르면 그라우뷘덴 대학의 응용과학 연구진이 슈퍼컴퓨터를 활용해 이전 기록보다 더 길고, 더 빠르게 원주율 파이의 소수점 아래 숫자를 계산하는 데 성공했다.

스위스 연구진이 원주율, 즉 파이(π) 값을 62조 8000억 번째 자리까지 알아냈다. 역대 가장 긴 파이 값이자 새로운 세계 기록이다.

19 thg 8, 2021 — 스위스 연구진이 원주율, 즉 파이(π) 값을 62조 8000억 번째 자리까지 알아냈다. 역대 가장 긴 파이 값이자 새로운 세계 기록이다.

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거래량 터지면서 상승할 때 무조건 OO 하세요. [퀀트 팩터 가이드 EP.06]

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‘π’ 값 소숫점 아래 62조 8000억 번째 자리까지 알아냈다

스위스 연구진이 원주율, 즉 파이(π) 값을 62조 8000억 번째 자리까지 알아냈다. 역대 가장 긴 파이 값이자 새로운 세계 기록이다.

AFP 통신 등 외신에 따르면 그라우뷘덴 대학의 응용과학 연구진이 슈퍼컴퓨터를 활용해 이전 기록보다 더 길고, 더 빠르게 원주율 파이의 소수점 아래 숫자를 계산하는 데 성공했다.

연구진은 108일 9시간에 걸친 계산을 통해 소수점 아래 62조 8318억 5307만 1796번째 숫자를 알아냈다. 연구진이 구한 소수점 아래 숫자의 마지막 열 자리 숫자는 ‘7817924264’였다. 이전 기록은 지난해 2월 미국의 티모시 멀리컨이 303일 동안 계산한 소수점 이하 50조 번째 자리였다. 연구진은 특히 이전 세계 기록이었던 50조 번째 자리까지 계산하는 데 걸린 시간보다 3.5배 빨랐다고 설명했다. 이번 원주율 계산에는 AMD의 에픽(EPYC) 7542 CPU(중앙처리장치) 2개와 1테라바이트(TB) 램, 510TB의 하드디스크 용량 등이 동원됐다. 연구진은 이 원주율 계산 경험을 리보핵산(RNA) 분석과 유체 역학의 모의 실험 등에 적용할 수 있다고 덧붙였다.

한편, 원주율의 소수점 계산은 슈퍼컴퓨터의 성능을 테스트하는 기준으로 여겨지고 있다. 계산이 복잡할수록 하드웨어나 소프트웨어가 중단될 수 있고, 오류가 생길 가능성이 크기 때문이다.

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